已知数列{an}的通项公式为an=3n．求证：数列{an}是等比数列；若数列{bn}是等比数列，且b1=a2，b2=a4，试求数列{bn}的通项公式

题文

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等比数列，且b₁=a₂，b₂=a₄，试求数列{b_n}的通项公式b_n及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a_n+1-a_n=3（n+1）-3n=3，a₁=3，
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公差的等差数列；
（II）由（I）可知：b₁=a₂=3×2=6，b₂=a₄=3×4=12．
∴数列{b_n}的公比q=b2b1=126=2，
∴bn=6×2n-1=3×2n，
∴S_n=3（2¹+2²+…+2ⁿ）=3×2(2n-1)2-1=6（2ⁿ-1）．

解析

b2b1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的通项公式为an=3n．.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。