在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，证明：数列{an-n}是等比数列；设bn=nan-n2-n，求数列{bn}的前n项

题文

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²-n，求数列{b_n}的前n项和S_n； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由题设a_n+1=4a_n-3n+1，
得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N₊
又a₁-1=1≠0∴an+1-(n+1)an-n=4
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
（Ⅱ）由（1）可知a_n-n=4^n-1
而b_n=n（a_n-n）-n=n•4^n-1-n
∴S_n=1•4⁰+2•4¹+3•4²+n•4^n-1-（1+2+3+n）T_n
=1•4⁰+2•4¹+3•4²+n•4^n-1①
4T_n=1•4¹+2•4²+3•4³+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ②
由①-②得：-3T_n=1+4+4²+4^n-1-n•4ⁿ=1-4n1-4-n•4n=4n-13-n•4n
∴Tn=1-4n9+n•4n3=19+(n3-19)•4n
=(3n-1)•4n9+19=(3n-1)•4n+19Sn=(3n-1)•4n+19-n(n+1)2

解析

an+1-(n+1)an-n

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=2，an+1=4.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。