已知函数f=2，g=4，数列{an}是各项均不为0的等差数列，点在函数f的图象上；数列{bn}满足

题文

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{b_n}满足b₁=2，b_n≠1，且(bn-bn+1)•g(bn)=f(b n)(n∈N*)．
（I）求a_n并证明数列{b_n-1}是等比数列；
（II）若数列{c_n}满足cn=an4n-1•(bn-1)，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，
令n=1，n=2，可得a₁²=S₁，a₂²=S₃，
∴a12=a1，(a1+d)2=3a1+3d
∴a₁=1，d=2（d=-1舍去）
∴a_n=2n-1；
∵(bn-bn+1)•g(bn)=f(b n)(n∈N*)
∴4(bn-bn+1)•(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴bn+1-1bn-1=34
∴数列{b_n-1}是以1为首项，34为公比的等比数列；
（II）证明：由上知b_n-1=(34)n-1
∴cn=an4n-1•(bn-1)=2n-13n-1
令T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
则T_n=130+331+…+2n-13n-1①
∴13T_n=131+332+…+2n-33n-1+2n-13n②
①-②得23T_n=130+231+232+…+23n-1-2n-13n2-2(n+1)3n
∴T_n=3-n+13n-1＜3
即c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3．

解析

b n

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。