已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若1m+9n的最小值为A．2B．3C．4D．5

题文

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若1m+9n的最小值为（ ）A．2B．3C．4D．5 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等比数列的公比为q，由 a₇=a₆+2a₅ ，
得 a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴，
∵等比数列{a_n}的各项均为正数，
∴q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
∵am•an=2a1，∴2m+n-22=2，则m+n-2=2，
即m+n=4，且m＞0，n＞0，
∴1m+9n=14（m+n）（1m+9n）=14(10+9mn+nm)≥14×(10+29)=4，
当且仅当9mn=nm时取等号，
∴1m+9n的最小值是4，
故选C．

解析

am•an

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的等比数列{an}满足：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。