已知等差数列{ann}满足a1=1，a3=6，若对任意的n∈N*，数列{bn}满足bn，2an+1，bn+1依次成等比数列，且b1=4．求an，bn

题文

已知等差数列{ann}满足a₁=1，a₃=6，若对任意的n∈N^*，数列{b_n}满足b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
（1）求a_n，b_n
（2）设S_n=（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，n∈N*，证明：对任意的n∈N*，|Sn|＞12bn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{ann}的公差d，依题意该数列的第一项为a11=1，第三项为a33=2，
∴2=1+（3-1）d，d=12．
∴ann=1+(n-1)×12，
∴an=12n(n+1)，
∵b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
∴b_n•b_n+1=4a_n+1²，
∴b_n•b_n+1=（n+2）²（n+1）²，
∴bn(n+1)2•bn+1(n+1+1)2=1，n∈N^*．
令cn=bn(n+1)2，
则c_nc_n+1=1，∴cn+1=1cn，且c_n≠0．
∵c1=b14=44=1，
∴cn=1cn-1=cn-2=1cn-3=…=c2=1c1=1，
∴cn=bn(n+1)2=1，
∴b_n=（n+1）²．
（2）当n是偶数时，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-…-n²+（n+1）²
=5+9+13+…+（2n+1）
=n2+3n2．
∴|Sn| -12bn=n2+3n2-n2+2n+12=n-12＞0，
∴|Sn| ＞12bn．
当n是奇数时，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-8²+…+n²-（n+1）²
=5+9+13+…+（2n-1）-（n+1）²
=-n2-3n-42
∴|Sn| -12bn=n2+3n+42-n2+2n+12═n+32＞0，
∴|Sn| ＞12bn．
综上所述，对任意的n∈N^*，|Sn|＞12bn．

解析

ann

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{ann}满足a1=1，a3.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。