数列{an}的首项为a1=56，以a1，a2，a3，…，an-1，an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0都有根α、β，且α、β满

题文

数列{a_n}的首项为a1=56，以a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n≥2，且n∈N₊）都有根α、β，且α、β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：{an-12}是等比数列；           
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）记S_n为{a_n}的前n项和，对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由α、β是方程a_n-1x²-a_nx+1=0的两根，得α+β=anan-1，
且αβ=1an-1（n≥2，且n∈N₊）．又由3α-αβ+3β=1得3（α+β）-αβ=1，
∴3anan-1-1an-1=1，整理得3a_n-1=a_n-1（n≥2）．
∴an-12=13(an-1-12)（n≥2，且n∈N₊）．
∴{an-12}是等比数列，且公比q=13．    
（2）∵a1=56，∴a1-12=13，则an-12=13×(13)n-1，
即an=12+(13)n．    …（7分）
（3）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=n2+(13+132+…+13n)
=n2+13[1-(13)n]1-13=n2+12(1-13n)，
∴Sn-n2=12(1-13n)．又显然数列{Sn-n2}是递增数列，
∴要使对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，
只需λ≤(Sn-n2)min=S1-12=a1-12=56-12=13，
∴λ的取值范围是(-∞，13]．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的首项为a1=56，以a1，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。