已知一非零的向量列an满足：a1=(1，1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．计算|a1|，|a2|，|a

题文

已知一非零的向量列an满足：a1=(1，1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（1）计算|a1|，|a2|，|a3|；证明：数列{|an|}是等比数列；
（2）设θ_n（n≥2）是an-1，an的夹角的弧度数，bn=π4n(n-1)θn，Sn=b2+b3+…+bn，求S2013． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵非零向量列{an}满足：a1=（1，1），an =（x_n，y_n）=12（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n≥2），
∴a1=（1，1），a2=12（0，2）=（0，1），a3=12（-1，1）=（-12，12），
∴|a1|=12+12=2，|a2|=02+12=1，|a3|=(-12)2+(12)2=22．
∵|an|=xn2+yn2，
∴|an+1|=xn+12+yn+12=(xn-yn2)2+(xn+yn2)2=22xn2+yn2，
∴|an+1||an|=22（常数），
∴{|an|}是首项|a1|=2，公比q=22的等比数列．
（2）∵an-1•an=（x_n-1，y_n-1）•12（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）
=12（xn-12+yn-12）=12|an-1|²，
∴cosθ_n=an-1•an|an-1|•|an|=12|an-1||an|=22，
∴θ_n=π4，n≥2．
∴b_n=π4n(n-1)θn=π4n(n-1)•π4=1n(n-1)=1n-1-1n，
∴S_n=b₂+b₃+…+b_n
=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）
=1-1n．
∴S₂₀₁₃=1-12013=20122013．

解析

an

考点

据考高分专家说，试题“已知一非零的向量列an满足：a1=(1，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。