已知数列{an}中，a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且当n≥2时，an+1Sn-1-anSn=0．求证：数列{Sn}是等比数列；求数列{an}

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，且当n≥2时，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令bn=9an(an+3)(an+1+3)，记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明对于任意的正整数n，都有38≤Tn＜78成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：当n≥2时，
a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²，
所以S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）．
又由S₁=1≠0，S₂=4≠0，可推知对一切正整数n均有S_n≠0，
∴数列{S_n}是等比数列．                                   
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{S_n}的首项为1，公比为4，
∴S_n=4^n-1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，又a₁=S₁=1，
∴an=1 (n=1)3×4n-2，(n≥2).
（Ⅲ）证明：当n≥2时，a_n=3×4^n-2，
此时bn=9an(an+3)(an+1+3)=9×3×4n-2(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)=3×4n-2(4n-2+1)(4n-1+1)，
又b1=9a1(a1+3)(a2+3)=38，
∴bn=38，(n=1)3×4n-2(4n-2+1)(4n-1+1)，(n≥2)．                       
当n≥2时，
bn=3×4n-2(4n-2+1)(4n-1+1)=14n-2+1-14n-1+1
Tn=b1+b2+…+bn=38+(142-2+1-142-1+1)+…+(14n-2+1-14n-1+1)
=78-14n-1+1＜78．                                 
又因为对任意的正整数n都有b_n＞0，所以T_n单调递增，即T_n≥T₁，
∵T1=b1=38＜78
所以对于任意的正整数n，都有38≤Tn＜78成立．

解析

1 (n=1)3×4n-2，(n≥2).

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a2=3，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。