已知数列{an}满足a1=1，a2=λ，且an+2=an+1+6an．．证明：数列{an+1+2an}与数列{an+1-3

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=λ（λ＜3且λ≠-2），且a_n+2=a_n+1+6a_n．（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1+2a_n}与数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列；
（2）若a_n+1＞a_n（n∈N^*）恒成立，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解析：（1）由a_n+2=a_n+1+6a_n得a_n+2+2a_n+1=3（a_n+1+2a_n）a_n+2-3a_n+1=-2（a_n+1-3a_n）…（4分）
由λ＜3是λ≠-2知a₂+2a₁≠0，a₂-3a₁≠0，故有an+2+2an-1an+1+2an=3，an+2-3an+1an+1-3an=-2
∴数列{a_n+1+2a_n}与数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列．…（6分）
（2）由（1）知：a_n+1+2a_n=（λ+2）3^n-1①a_n+1-3a_n=（λ-3）（-2）^n-1②…（7分）
由①-②得5a_n=（λ+2）3^n-1+（3-λ）（-2）^n-15a_n+1=（λ+2）3ⁿ+（3-λ）（-2）ⁿ…（8分）
∴5（a_n+1-a_n）=（2λ+4）•3^n-1+（3λ-9）•（-2）^n-1＞0，又∵λ＜3，
化简得2λ+49-3λ＞(-23)n-1…（10分）
对于任意n∈N^*，总有(-23)n-1≤1…（11分）
∴2λ+49-3λ＞1，解之得1＜λ＜3…（12分）

解析

an+2+2an-1an+1+2an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。