如图，△OBC的在个顶点坐标分别为、、，设P为线段BC的中点，P为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn

题文

如图，△OBC的在个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P为线段BC的中点，P为线段CO的中点，P₃为线段OP₁的中点，对于每一个正整数n，P_n+3为线段P_nP_n+1的中点，令P_n的坐标为（x_n，y_n），an=12yn+yn+1+yn+2.
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及a_n；
（Ⅱ）证明yn+4=1-yn4，n∈N*；
（Ⅲ）若记b_n=y_4n+4-y_4n，n∈N^*，证明{b_n}是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为y1=y2=y4=1，y3=12，y5=34，
所以a₁=a₂=a₃=2，又由题意可知yn-3=yn+yn+12
∴an+1=12y n+1+yn+2+yn+3
=12yn+1+yn+2+y n+yn+12
=12yn+yn+1+yn+2=an，
∴{a_n}为常数列
∴a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）将等式12yn+yn+1+yn+2=2两边除以2，得14yn+yn+1+yn+22=1，
又∵yn+4=y n+1+yn+22
∴yn+4=1-yn4.
（Ⅲ）∵bn-1=y4n+3-y4n+4=(1-y4n+44)-(1-y4n4)
=-14(y4n+4-y4n)
=-14bn，
又∵b1=y3-y4=-14≠0，
∴{b_n}是公比为-14的等比数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“如图，△OBC的在个顶点坐标分别为（0，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。