设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1、Sn、an+1成等差数列．求{an}的通项公式；设bn=1-Sn，问：是否存在a

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且-a₁、S_n、a_n+1成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=1-S_n，问：是否存在a₁，使数列{b_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，得2S_n=a_n+1-a₁．于是，当n≥2时，有2Sn=an+1-a12Sn-1=an-a1．
两式相减，得a_n+1=3a_n（n≥2）．
又因为a₂=2S₁+a₁=3a₁，a_n≠0，所以数列{a_n}是首项为a₁、公比为3的等比数列．
因此，a_n=a₁•3^n-1（n∈N^*）；
（Ⅱ）因为Sn=a1(1-3n)1-3=12a1•3n-12a1，
所以bn=1-Sn=1+12a1-12a1•3n．
要使{b_n}为等比数列，当且仅当1+12a1=0，即a₁=-2．

解析

2Sn=an+1-a12Sn-1=an-a1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，其中an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。