我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与

题文

我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q第3行q²……第n行q^n-1（1）设第2行的数依次为B₁，B₂，…，B_n，试用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得，B₁=q，B₂=1+q，
B₃=1+（1+q）=2+q，…，B_n=（n-1）+q，
∴B₁+B₂+…+B_n=1+2+…+（n-1）+nq=n(n-1)2+nq．
（2）由题意得，c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，
c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2，
由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2＞0，
即 c₁+c₃＞2c₂．  
（3）①先设c₁，c₂，c₃成等比数列，由c1c3=c22得，
 3+2q+q²=（2+q）²，q=-12．
此时 c₁=1，c2=32，c3=94，
∴c₁，c₂，c₃是一个公比为32的等比数列． 
如果m≥4，c₁，c₂，…，c_m为等比数列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比数列．
由上所述，此时q=-12，c1=1，c2=32，c3=94，c4=238，
由于c4c3≠32，因此，对于任意m≥4，c₁，c₂，…，c_m一定不是等比数列．
综上所述，当且仅当m=3且q=-12时，数列c₁，c₂，…，c_m是等比数列．
②设x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x1=1，x2=k+q，x3=(1+2+3+…+k)+kq+q2=k(k+1)2+kq+q2，
若第k+1列的前三项x₁，x₂，x₃是等比数列，则
由x1x3=x22，得k(k+1)2+kq+q2=(k+q)2，k2-k2+kq=0，q=1-k2，
同理，若第m+1列的前三项y₁，y₂，y₃是等比数列，则q=1-m2．
当k≠m时，1-k2≠1-m2．
所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。