已知数列{an}中，a1=-1，且an，an+1，n成等差数列．设bn=an-n+2，求证：数列{bn}是等比数列；求

题文

已知数列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差数列．
（Ⅰ）设b_n=（n+1）a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）（仅理科做） 若a_n-b_n≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：(n+2)an+1=12(n+1)an+n2，…1分
∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分）bn+1bn=(n+2)an+1-(n+1)+2(n+1)an-n+2=12(n+1)an+n2-(n+1)+2(n+1)an-n+2=12(n+1)an-n2+1(n+1)an-n+2=12，
∴数列{b_n}是等比数列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=-(12)n-1，即(n+1)an-n+2=-(12)n-1．
∴an=-1n+1(12)n-1+n-2n+1． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵an-bn=nn+1(12)n-1+n-2n+1，
∴a_n-b_n≤kn，即k ≥ 1n+1(12)n-1+n-2n(n+1)．
设cn=1n+1(12)n-1，dn=n-2n(n+1)，en=1n+1(12)n-1+n-2n(n+1)，
则c_n 随着n的增大而减小，…8分
∵dn+1-dn=n-1(n+1)(n+2)-n-2n(n+1)=4-nn(n+1)(n+2)，
∴n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，…10分
则n≥5时，e_n随着n的增大而减小． …
∵c₁=12，c₂=16，c₃=116，c₄=140，c₅=196，
d₁=-12，d₂=0，d₃=112，d₄=110，d₅=110，
∴e₁=0，e₂=16，e₃=748，e₄=18，e₅=53480．
则e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=16最大．
∴实数k的取值范围k≥16． …13分．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=-1，且（n+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。