已知以a1为首项的数列{an}满足：an+1=an+can＜3andan≥3当a1=1，c=1，d=3时，求数列{an}的通项公式当0＜a1＜1，c

题文

已知以a₁为首项的数列{a_n}满足：a_n+1=an+can＜3andan≥3
（1）当a₁=1，c=1，d=3时，求数列{a_n}的通项公式
（2）当0＜a₁＜1，c=1，d=3时，试用a₁表示数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀
（3）当0＜a₁＜1m（m是正整数），c=1m，d≥3m时，求证：数列a₂-1m，a_3m+2-1m，a_6m+2-1m，a_9m+2-1m成等比数列当且仅当d=3m． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得an=1，n=3k-22，n=3k-13，n=3k，(k∈Z+)
（2）当0＜a₁＜1时，a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a₄=a₁+3，
a5=a13+1，a6=a13+2，a7=a13+3，a3k-1=a133k-1+1，a3k=a133k-1+2，a3k+1=a133k-1+3
∴S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇）+…+（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）
=a1+(3a1+6)+(a1+6)+(a13+6)++(a1331+6)
=a1+a1(3+1+13++1331)+6×33
=12(11-1331)a1+198
（3）当d=3m时，a2=a1+1m，
∵a3m=a1+3m-1m=a1-1m+3＜3＜a1+3=a 3m+1，
∴a3m+2=a13m+1m；
∵a6m=a13m-1m+3＜3＜a13m+3=a6m+1
∴a6m+2=a19m2+1m；
∵a9m=a19m2-1m+3＜3＜a19m2+3=a9m+1，
∴a9m+2=a127m3+1m，
∴a2-1m=a1，a3m+2-1m=a13m，a6m+2-1m=a19m2，
∴a9m+2-1m=a127m3
综上所述，当d=3m时，数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m
是公比为13m的等比数列
当d≥3m+1时，a3m+2=a1+3d∈(0，1m)，
a6m+2=a1+3d+3∈(3，3+1m)，
a6m+3=a1+3d+3d∈(0，1m)，
a9m+2=a1+3d+3d+3m-1m∈(3-1m，3)，
由于a3m+2-1m＜0，a6m+2-1m＞0，a9m+2-1m＞0
故数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m，不是等比数列
所以，数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m，
成等比数列当且仅当d=3m

解析

1，n=3k-22，n=3k-13，n=3k

考点

据考高分专家说，试题“已知以a1为首项的数列{an}满足：an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。