已知数列{an}的首项a1=b，它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an，并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=b（b≠0），它的前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1），并且S₁，S₂，S_n，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1），
（1）证明：a₂，a₃，a₃，…a_n，…（即{a_n}从第二项起）是一个等比数列；
（2）设W_n=a₁S₁+a₂S₂+a₃S₃+…+a_nS_n（n≥1），求limn→∞Wn（用b，p表示）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由已知条件得S₁=a₁=b．
S_n=S₁p^n-1=bp^n-1（n≥1）
因为当n≥2时，S_n=a₁+a₂++a_n-1+a_n=S_n-1+a_n，所以
a_n=S_n-S_n-1=bp^n-2（p-1）（n≥2）
从而an+1an=bpn-1(p-1)bpn-2(p-1)=p(n≥2)，
因此a₂，a₃，a₃，a_n，是一个公比为p的等比数列
（2）当n≥2时，an+1Sn+1anSn=bpn-1(p-1)bpnbpn-2(p-1)bpn-1=p2，
且由已知条件可知p²＜1，
因此数列a₁S₁，a₂S₂，a₃S₃，a_nS_n是公比为p²＜1的无穷等比数列，于是limn→∞(a2S2+a3S3++anSn)=a2S21-p2=b2(p-1)p1-p2=-b2p1+p．
从而
limn→∞Wn=limn→∞(a1S1+a2S2+a3S3++anSn)
=limn→∞a1S1+limn→∞(a2S2+a3S3++anSn)
=b2-b2p1+p=b21+p．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=b（b≠0）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。