已知数列{an}的前n项和为sn，且a1=1，nan+1=sn．求证：数列{snn}为等比数列；求数列{an}的通项公式及前n

题文

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）s_n （n∈N^*）．
（1）求证：数列{snn}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=12，bn+1n+1=bn+snn （n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：将a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；
整理得sn+1n+1=2•snn （n∈N^•）．
又由已知s11=1，
所以数列{snn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）的结论可得snn=2^n-1，∴Sn=n•2^n-1
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2
由已知，a₁=1，又当n=1时，（n+1）•2^n-2=1，
∴a_n=（n+1）•2^n-1（n∈N^*）．
（3）由bn+1n+1=bn+snn（n∈N^*）．
得bn+1n+1=bnn+2^n-1，
由此式可得bnn=bn-1n-1+2n-2，
bn-1n-1=bn-2n-2+2n-3，
…
b33=b22+21，
b22=b11+20
把以上各等式相加得，
bnn=b1+2+22+…+2n-2=2n-1-12（n∈N^*，n≥2）．
所以b_n=n2n-1-12n（n∈N^*，n≥2）．
当n=1时也符合，所以b_n=n2n-1-12n．

解析

sn+1n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为sn，且a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。