数列{an}是以a为着项，q为公比的等比数列，令bn=1-a1-a2-a3-…-an，Cn=2-b1-b2-b3-…-bn．n∈N*试用a，q表示bn和c

题文

数列{a_n}是以a为着项，q为公比的等比数列，令b_n=1-a₁-a₂-a₃-…-a_n，C_n=2-b₁-b₂-b₃-…-b_n．n∈N*
（1）试用a，q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列，若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}的通项公式；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当q=1时，an=a，bn=1-na，cn=2+n(na+a-2)2．
当q≠1时，an=aqn-1，bn=1-a1-q+aqn1-q，cn=2-(1-a1-q)n-a1-q•q(1-qn)1-q=2-aq(1-q)2+q-1+a1-qn+aqn+1(1-q)2
（2）cn+1-cn=-bn+1=-1+a1-q-aqn+11-q=-1+a1-q(1-qn+1)，
因为1+q+q²+…+qⁿ=1-qn+11-q(q≠1)
由已知q＞0，
1+q+q2+…+qn＞0，即1-qn+11-q＞0
又a＜0，则a1-q(1-qn+1)＜0
亦即-1+a1-q(1-qn+1)＜0．
所以c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；
（3）∵cn=2-aq(1-q)2+q-1+a1-qn-aqn+1(1-q)2，
若{cn}成等比数列，则令2-aq(1-q)2=0  ①q-1+a1-q=0  ②
由②得a=1-q，代入①得2-q1-q=0．
所以q=23，a=13，此时cn=13×(23)n+1(1-23)2=43(23)n-1．
所以存在实数对（a，q）为(13，23)，使{cn}成为以43为首项，23为公比的等比数列．

解析

n(na+a-2)2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}是以a为着项，q为公比的等比.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。