已知数列{an}的前n项和为{Sn}，又有数列{bn}满足关系b1=a1，对n∈N*，有an+Sn=n，bn+1=an+1-an求证：{bn}是等比数列，

题文

已知数列{a_n}的前n项和为{S_n}，又有数列{b_n}满足关系b₁=a₁，对n∈N^*，有a_n+S_n=n，b_n+1=a_n+1-a_n
（1）求证：{b_n}是等比数列，并写出它的通项公式；
（2）是否存在常数c，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an+Sn=n⇒a1+S1=1⇒a1=12，又an+1+Sn+1=n+1an+Sn=n⇒2an+1=an+1（3分）
∴bn+1bn=an+1-anan-an-1=an+12-anan-(2an-1)=12，
∴数列{b_n}为等比数列，且bn=(12)n（6分）
（2）a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，∴an+bn=1⇒an=1-(12)n（8分）
∴Sn=n-an=n-1+(12)n⇒Sn-n+1=(12)n（10分）
依题意，存在c=-1，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列．   （12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为{Sn}，又.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。