已知数列{an}的前n项和Sn，且an=12(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．证明数列{an+3}为等比数列；数列{an}是否存在三项构成等差数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且an=12(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．
（1）证明数列{a_n+3}为等比数列；
（2）数列{a_n}是否存在三项构成等差数列？若存在，求出一组；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵且an=12(3n+Sn)对一切正整数n恒成立，
即2a_n=3n+S_n…①对一切正整数n恒成立．
∴2a_n+1=3（n+1）+s_n+1…②
②-①得：2a_n+1-2a_n=3+s_n+1-s_n，
∴3a_n+1-2a_n=3
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
又a₁+3=6＞0，所以a₂+3=2（a₁+3）＞0，由此类推an+3＞0
所以an+1+3an+3=2
所以数列{a_n+3}是以a₁+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
（2）假设数列{a_n}中存在这样的三项满足其条件，且这三项分别为数列{a_n}的第x，y，z项．
由（1）知数列{a_n+3}是以a₁+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3×2ⁿ-3
又第x，y，z项构成等差数列，
∴2（3×2^y-3）=3×2^x-3+3×2^z-3
∴2^y+1=2^x+2^z
∴2^y+1-x=1+2^z-x
又x、y、z都是整数，
等式左边是偶数，右边是奇数，
∴这样的x、y、z是不存在的．
即数列{an}中不存在有三项，使它们可以构成等差数列．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn，且an=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。