已知等差数列{an}的前n项和胃Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．求数列{an}的通项公式；若从数列{an}中依次

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2ⁿ项，…，按原来顺序组成一个新数列{b_n}，记该数列的前n项和为T_n，求T_n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列的公差为d，则
∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴3a₁+3d+5a₁+10d=50，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∵公差d≠0，∴a₁=3，d=2
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
（2）据题意得b_n=a2n=2×2ⁿ+1．
∴数列{b_n}的前n项和公式：T_n=（2×2+1）+（2×2²+1）+…+（2×2ⁿ+1）=2×（2+2²+…+2ⁿ）+n=2×2(1-2n)1-2+n=2ⁿ⁺²+n-4．

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和胃Sn，公.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。