数列{an}中，an＞0，且{anan+1}是公比为q的等比数列，满足anan+1+an+1an+2＞an+2an+3，则公比q的取值范围是

题文

数列{a_n}中，a_n＞0，且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，满足a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N），则公比q的取值范围是（ ）A．0＜q＜1+22B．0＜q＜1+52C．0＜q＜-1+22D．0＜q＜-1+52 题型：未知 难度：其他题型

答案

法1：∵{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，
∴设anan+1=(a1a2)qn-1，
不等式可化为(a1a2)qn-1+(a1a2)qn＞(a1a2)qn+1，
∵a_n＞0，q＞0，
∴q²-q-1＜0，
解得：0＜q＜1+52；
法2：令n=1，不等式变为a₁a₂+a₂a₃＞a₃a₄，
∴a1a2+a1a2⋅q＞a1a2q2，
∵a₁a₂＞0，∴1+q＞q²，
解得：0＜q＜1+52，
故选B

解析

1+52

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，an＞0，且{anan+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。