已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．求{an}的通项公式；设bn=an3n，记数列bn的前n项和

题文

已知正项等差数列a_n的前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an3n，记数列b_n的前n项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，所以a₂=4．（1分）
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比数列，
∴a₂²=2a₁•（a₃+1），即a₂²=2（a₂-d）•（a₂+d+1），（3分）
解得，d=3或d=-4（舍去），
∴a₁=a₂-d=1，故a_n=3n-2．（6分）
（Ⅱ）bn=an3n=3n-23n=(3n-2)•13n，
∴Tn=1×13+4×132+7×133++(3n-2)×13n，①
①×13得13Tn=1×132+4×133+7×134++(3n-5)×13n+(3n-2)×13n+1．②
①-②得23Tn=13+3×132+3×133+3×134++3×13n-(3n-2)×13n+1=13+3×132(1-13n-1)1-13-(3n-2)×13n+1=56-12×13n-1-(3n-2)×13n+1，（10分）
∴Tn=54-14×13n-2-3n-22×13n=54-6n+54×13n．（12分）

解析

an3n

考点

据考高分专家说，试题“已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。