已知数列{an}满足a1=a，an+1=(4n+6)an+4n+102n+1(n∈N*)．试判断数列{an+22n+1}是否为等比数列？若不是，请说明理由

题文

已知数列{a_n}满足a₁=a，an+1=(4n+6)an+4n+102n+1(n∈N*)．
（Ⅰ）试判断数列{an+22n+1}是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项a_n．
（Ⅱ）如果a=1时，数列{a_n}的前n项和为S_n．试求出S_n，并证明1S3+1S4+…+1Sn＜110（n≥3）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵an+1+2=(4n+6)an+4n+102n+1+2=(4n+6)(an+2)2n+1，
∴an+1+22n+3=2•(an+2)2n+1．
令bn=an+22n+1，则b_n+1=2b_n．  …2分
∵b1=a+23，
∴当a=-2时，b₁=0，则b_n=0．
∵数列{0}不是等比数列．
∴当a=-2时，数列{an+22n+1}不是等比数列．…4分
当a≠-2时，b₁≠0，则数列{an+22n+1}是等比数列，且公比为2．
∴b_n=b₁•2^n-1，
即an+22n+1=a+23•2n-1．
解得an=(a+2)(2n+1)3•2n-1-2．      …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，
S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．
令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，…①
则2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，…②
由①-②：-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2•2(1-2n-1)1-2-(2n+1)•2n
=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1，…9分
则S_n=T_n-2n=（2n-1）（2ⁿ-1）．             …10分
∵2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ，
∴当n≥3时，2ⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ=2（n+1），则2ⁿ-1≥2n+1．…12分
∴S_n≥（2n-1）（2n+1），
则1Sn≤1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)．…13分
因此，1S3+1S4+…+1Sn≤12[(15-17)+(17-19)+…+(12n-1-12n+1)]=12(15-12n+1)＜110． …14分．

解析

(4n+6)an+4n+102n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=a，an+1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。