在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ，已知过点P的直线L的参数方程为：x=-

题文

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：x=-2+22ty=-4+22t，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin²θ=2acosθ⇒ρ²sin²θ=2aρcosθ，
即 y²=2ax，
直线L的参数方程为：x=-2+22ty=-4+22t，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x-2（3分）
（Ⅱ）直线l的参数方程为x=-2+22ty=-4+22t（t为参数），
代入y²=2ax得到t2-22(4+a)t+8(4+a)=0，
则有t1+t2=22(4+a)，t1•t2=8(4+a)…（8分）
因为|MN|²=|PM|•|PN|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1•t2=t1•t2
即：[22（4+a）]²-4×8（4+a）=8（4+a）
解得 a=1…（10分）

解析

x=-2+22ty=-4+22t

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。