设{an}是公比为q的等比数列．试推导{an}的前n项和公式；设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．

题文

设{a_n}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{a_n}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当q=1时，S_n=na₁；
当q≠0，1时，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．
两式错位相减得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）
由等比数列的定义可得a2a1=a3a2=…=anan-1=q，
∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．
∴（*）化为（1-q）S_n=a₁-a_nq，
∴Sn=a1-anq1-q=a1-a1qn1-q=a1(1-qn)1-q．
∴Sn=na1，(q=1)a1(1-qn)1-q，(q≠1)；
（Ⅱ）用反证法：设{a_n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a_n+1}是等比数列．
①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，数列{a_n+1}不是等比数列．
②当∀n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，则an+1+1an+1=a1qn+1a1qn-1+1=a1q+1a1+1，
化为（q^n-1-1）（q-1）=0，
∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．
综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。