设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足bn=na1+a2+…+2an-1+an，n∈N*，已知b1=m，b2=3m2，其中m≠0．求数列{a

题文

设数列{a_n}为等比数列，数列{b_n}满足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b2=3m2，其中m≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的首项和公比；
（Ⅱ）当m=1时，求b_n；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S_n∈[1，3]，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知b₁=a₁，
所以a₁=m
b₂=2a₁+a₂，
所以2a1+a2=32m，
解得a2=-m2，
所以数列{a_n}的公比q=-12．
（Ⅱ）当m=1时，an=(-12)n-1，
b_n=na₁+（n-1）a₂++2a_n-1+a_n①，
-12bn=na2+(n-1)a3++2an+an+1②，
②-①得
-32bn=-n+a2+a3++an+an+1
所以-32bn=-n+-12[1-(-12)n]1-(-12)=-n-13[1-(-12)n]，
bn=2n3+29-29(-12)n=6n+2+(-2)1-n9
（Ⅲ）Sn=m[1-(-12)n]1-(-12)=2m3•[1-(-12)n]
因为1-(-12)n＞0，
所以，由S_n∈[1，3]得
11-(-12)n≤2m3≤31-(-12)n，
注意到，当n为奇数时1-(-12)n∈(1，32]，
当n为偶数时1-(-12)n∈[34，1)，
所以1-(-12)n最大值为32，最小值为34．
对于任意的正整数n都有11-(-12)n≤2m3≤31-(-12)n，
所以43≤2m3≤2，2≤m≤3．
即所求实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}为等比数列，数列{bn}满.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。