已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)．求证：数列{an+1-an}是等比数列，并求{an}的通项公式；记

题文

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整数n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3
∴数列{a_n+1-a_n}是以3为首项，公比为2的等比数列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1（3分）
∴n≥2时，
a_n-a_n-1=3•2^n-2，
an-1-an-2=3•2n-3
…
a₃-a₂=3•2，
a₂-a₁=3，
以上n-1个式子累加得a_n-a₁=3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2+3=3（2^n-1-1）
∴a_n=3•2^n-1-2
当n=1时，a1=3•20-2=1也满足
从而可得an=3•2n-1-2（6分）
（2）由（1）利用分组求和法得
S_n=（3•2⁰-2）+（3•2¹-2）+…（3•2^n-1-2）
=3（2⁰+2¹+…+2^n-1）-2n
=3×1-2n1-2-2n
=3（2ⁿ-1）-2n（9分）
S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，
得3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，
∴n＞3
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整数4．（12分）

解析

1-2n1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=4，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。