已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是A．若a3＞0，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0D

题文

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n，则下列一定成立的是（ ）A．若a₃＞0，则a₂₀₁₃＜0B．若a₄＞0，则a₂₀₁₄＜0C．若a₃＞0，则S₂₀₁₃＞0D．若a₄＞0，则S₂₀₁₄＞0 题型：未知 难度：其他题型

答案

对于选项A，可列举公比q=-1的等比数列1，-1，1，-1，…，显然满足a₃＞0，但a₂₀₁₃=1＞0，故错误；
对于选项B，可列举公比q=-1的等比数列-1，1，-1，1…，显然满足a₄＞0，但a₂₀₁₄=0，故错误；
对于选项D，可列举公比q=-1的等比数列-1，1，-1，1…，显然满足a₂＞0，但S₂₀₁₄=0，故错误；
对于选项C，因为a₃=a₁•q²＞0，所以 a₁＞0．
当公比q＞0时，任意a_n＞0，故有S₂₀₁₃＞0；当公比q＜0时，q²⁰¹³＜0，故1-q＞0，1-q²⁰¹³＞0，仍然有S₂₀₁₃ =a1(1-q2013)1-q＞0，故C正确，
故选C．

解析

a1(1-q2013)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。