已知数列{an}中，a1=1，a2=3，且an+1=an+2an-1．设bn=an+1+λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
则有b22=b1b3．                                     ①…（1分）
由a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1，得a₃=5，a₄=11．
所以b₁=a₂+λa₁=3+λ，b₂=a₃+λa₂=5+3λ，b₃=a₄+λa₃=11+5λ，…（2分）
所以（5+3λ）²=（3+λ）（11+5λ），
解得λ=1或λ=-2．…（3分）
当λ=1时，b_n=a_n+1+a_n，b_n-1=a_n+a_n-1，且b₁=a₂+a₁=4，
有bnbn-1=an+1+anan+an-1=(an+2an-1)+anan+an-1=2（n≥2）．…（4分）
当λ=-2时，b_n=a_n+1-2a_n，b_n-1=a_n-2a_n-1，且b₁=a₂-2a₁=1，
有bnbn-1=an+1-2anan-2an-1=(an+2an-1)-2anan-2an-1=-1（n≥2）．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
方法2：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
设bnbn-1=q（n≥2），…（1分）
即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），…（2分）
即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．…（3分）
与已知a_n+1=a_n+2a_n-1比较，令q-λ=1qλ=2.…（4分）
解得λ=1或λ=-2．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
（2）解法1：由（1）知an+1+an=4×2n-1=2n+1（n≥1），…（7分）
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）…（8分）
=2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ…（9分）
=4(1-4n2)1-4=13(2n+2-4)．…（10分）
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）…（11分）
=1+2³+2⁵+…+2ⁿ…（12分）
=1+8(1-4n-12)1-4=13(2n+2-5)．…（13分）
故数列{a_n}的前n项和Sn=13(2n+2-4) ， n 为偶数13(2n+2-5) ， n为奇数…（14分）
注：若将上述和式合并，即得Sn=13[(2n+2-4)+(-1)n-12]．
解法2：由（1）知an+1-2an=(-1)n+1（n≥1），…（7分）
所以an+12n+1-an2n=(-1)n+12n+1=(-12)n+1（n≥1），…（8分）
当n≥2时，an2n=a121+(a222-a121)+(a323-a222)+…+(an2n-an-12n-1)
=12+(-12)2+(-12)3+…+(-12)n
=12+(-12)2[1-(-12)n-1]1-(-12)=12+16[1-(-12)n-1]．
因为a121=12也适合上式，…（10分）
所以an2n=12+16[1-(-12)n-1]（n≥1）．
所以an=13[2n+1+(-1)n]．…（11分）
则Sn=13[(22+23+24+…+2n+1)+((-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)n)]，…（12分）
=13[4(1-2n)1-2+(-1)(1-(-1)n)1-(-1)]…（13分）
=13[(2n+2-4)+(-1)n-12]．…（14分）
解法3：由（1）可知，an+1+an=4×2n-1an+1-2an=1×(-1)n-1.…（7分）
所以an=13[2n+1+(-1)n]．…（8分）
则Sn=13[(22-1)+(23+1)+(24-1)+(25+1)+…+(2n+(-1)n-1)+(2n+1+(-1)n)]，…（9分）
当n为偶数时，Sn=13(22+23+24+25+…+2n+2n+1)…（10分）
=13×4(1-2n)1-2=13(2n+2-4)．…（11分）
当n为奇数时，Sn=13[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)-1]…（12分）
=13×[4(1-2n)1-2-1]=13(2n+2-5)．…（13分）
故数列{a_n}的前n项和Sn=13(2n+2-4) ， n 为偶数13(2n+2-5) ， n为奇数…（14分）
注：若将上述和式合并，即得Sn=13[(2n+2-4)+(-1)n-12]．

解析

bnbn-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a2=3，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。