已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，在数列{bn}中，b1=8且64bn+1-bn=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，an+logcbn恒为常

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n²+5n，在数列{b_n}中，b₁=8且64b_n+1-b_n=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，a_n+log_cb_n恒为常数m，若存在，求常数c和m的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

c=2，m=11满足条件，证明如下
当n=1时，a₁=S₁=8-----------------（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n+2----（3分）
又n=1时满足上式，故a_n=6n+2，
又∵b₁=8，64b_n+1-b_n=0
∴{b_n}是以8为首项164为公比的等比数列
∴bn=(18)2n-3---------------------------（6分）
∴a_n+logbnc=6n+2+log(18)2n-3c
=6n+2+（2n-3）log18c
=（6+2log18c）n+（2-3log18c）
∵a_n+log_cb_n=m对任意n∈N^*恒成立，
∴6+2log18c=02-3log18c=m      
 解得c=2m=11----------（12分）
故c=2，m=11满足条件．-------（13分）．

解析

164

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。