已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p；设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+

题文

（1）已知数列{c_n}，其中c_n=2ⁿ+3ⁿ，且数列{c_n+1-pc_n}为等比数列，求常数p；
（2）设{a_n}、{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n，证明数列{c_n}不是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为{c_n+1-pc_n}是等比数列，故有
（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），
将c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p（2ⁿ+3ⁿ）]²
=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ-p（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2-p）2ⁿ+（3-p）3ⁿ]²
=[（2-p）2ⁿ⁺¹+（3-p）3ⁿ⁺¹][（2-p）2^n-1+（3-p）3^n-1]，
整理得16（2-p）（3-p）•2ⁿ•3ⁿ=0，
解得p=2或p=3．
（2）设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n．
为证{c_n}不是等比数列只需证c₂²≠c₁•c₃．
事实上，c₂²=（a₁p+b₁q）²=a₁²p²+b₁²q²+2a₁b₁pq，
c₁•c₃=（a₁+b₁）（a₁p²+b₁q²）=a₁²p²+b₁²q²+a₁b₁（p²+q²）．
由于p≠q，p²+q²＞2pq，又a₁、b₁不为零，
因此c₂²≠c₁•c₃，故{c_n}不是等比数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“（1）已知数列{cn}，其中cn=2n+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。