已知数列{an}满足a1=a，an+1=2n-3an，设bn=an2n．求数列{bn}所满足的递推公式；

题文

已知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），设b_n=an2n（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求常数c、q使得b_n+1-c=q（b_n-c）对一切n∈N^*恒成立；
（3）求数列{a_n}通项公式，并讨论：是否存在常数a，使得数列{a_n}为递增数列？若存在，求出所有这样的常数a；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
∴an+12n+1=12-32•an2n，又bn=an2n，∴bn+1=12-32bn．
数列b_n的递推公式是b1=a2bn+1=12-32•b1，(n∈N*)．
（2）∵b_n+1-c=q（b_n-c）（n∈N^*）
∴b_n+1=qb_n+c-qc
又由（1）可知，bn+1=12-32bn
∴q=-32c-qc=12，∴q=-32，c=15，
∴bn+1-15= -32(bn-15)  ，(n∈N*)
（3）由（2）知，数列{bn-15}是首项为b1-15公比为-32的等比数列．
∴bn-15=(b1-15)  (-32)n-1，(n∈N*)
∴an=2nbn=2n[15+(a2-15)(-32)n-1] ，(n∈N*)为所求的通项公式．
考察数列a_n，∵an=2•3n-1[15(23)n+(a2-15)(-1)n-1]
1^O．当a=25时，an=15•2n，
此时数列a_n是递增数列．
2^O．当a≠25时，
(a2-15)  (-1)n-1是正负相间出现，其绝对值是正常数|a2-15|，
而limn→∞15• (23)n-1=0．
故当n充分大时，an=2•3n-1[15(23)n+(a2-15)(-1)n-1]的值的符号
与(a2-15)(-1)n-1的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，
故数列a_n不可能是单调数列．
综上所述，当且仅当a∈{25}时，数列a_n是递增数列．

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=a（a为常数，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。