设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-3n，(n∈N*)．证明数列{an+3}为等比数列求{Sn}的前n项和Tn．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2an-3n，(n∈N*)．
（1）证明数列{a_n+3}为等比数列     
（2）求{S_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令n=1，S₁=2a₁-3．∴a₁=3
由 S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减，得 a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
则  a_n+1=2a_n+3．…（4分）
a_n+1+3=2（a_n+3），an+1+3an+3=2
所以{a_n+3}为公比为2的等比数列…（7分）
（2）a_n+3=（a₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，
∴a_n=6•2^n-1-3 …（10分）
Sn=6(1-2n)1-2-3n=6•2n-3n-6．…（12分）
Tn=12(2n-1)-32n2-152n…（14分）

解析

an+1+3an+3

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。