如果无穷数列{an}满足下列条件：①an+an+22≤an+1；②存在实数M，使an≤M．其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．设数列{bn}的通

题文

如果无穷数列{a_n}满足下列条件：①an+an+22≤a_n+1；②存在实数M，使a_n≤M．其中n∈N^*，那么我们称数列{a_n}为Ω数列．
（1）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前项和，c₃=14，S₃=74证明：数列{S_n}是Ω数列；
（3）设数列{d_n}是各项均为正整数的Ω数列，求证：d_n≤d_n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵b_n+1-b_n=5-2ⁿ，∴n≥3，b_n+1-b_n＜0，故数列{b_n}单调递减；（3分）
当n=1，2时，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，
则数列{b_n}中的最大项是b₃=7，所以M≥7．（4分）
（2）证明：∵{c_n}是各项正数的等比数列，S_n是其前n项和，c₃=14，S₃=74
设其公比为q＞0，∴c3q2+c3q+c₃=74．（6分）
整理，得6q²-q-1=0，解得q=12，q=-13（舍去）．
∴c₁=1，c_n=12n-1，S_n=2-12n=S_n+2，S＜2．（8分）
对任意的n∈N^*，有Sn+Sn+22=2-12n-12n+2＜2-12n+1=S_n+1，且S_n＜2，
故{S_n}是Ω数列．（10分）
（3）证明：假设存在正整数k使得d_k＞d_k+1成立，由数列{d_n}的各项均为正整数，可得d_k≥d_k+1+1，即d_k+1≤d_k-1．
因为dk+dk+22≤d_k+1，所以d_k+2≤2d_k+1-d_k≤2（d_k-1）-d_k=d_k-2．
由d_k+2≤2d_k+1-d_k及d_k＞d_k+1得d_k+2＜2d_k+1-d_k+1=d_k+1，故d_k+2≤d_k+1-1．
因为dk+1+dk+32≤d_k+2，所以d_k+3≤2d_k+2-d_k+1≤2（d_k+1-1）-d_k+1=d_k+1-2≤d_k-3，
由此类推，可得d_k+m≤d_k-m（m∈N^*）．（14分）
又存在M，使d_k≤M，∴m＞M，使d_k+m＜0，这与数列{d_n}的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，
即对任意n∈N^*，都有d_k≤d_k+1成立．（16分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“如果无穷数列{an}满足下列条件：①an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。