已知数列{an}中，a1=12，对一切n∈N+，点在直线y=x上，令bn=an+1-an-1，求证数列{bn}是等比数列，并求通项

题文

已知数列{a_n}中，a1=12，对一切n∈N₊，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列，并求通项b_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在常数λ，使得数列{Sn+λTnn}为等差数列？若存在，试求出λ若不存在，则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ I）由已知得  a1=12，2an+1=an+n，∵a2=34，a2-a1-1=34-12-1=-34，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴bn+1bn=an+1-an-1an+2-an+1-1=an+1+(n+1)2-an+n2an+1-an-1=an+1-an-12an+1-an-1=12．
数列{b_n}是以-34为首项以12为公比的等比数列，b_n=-34×(12)n-1．
（Ⅱ）因为b_n=-34×(12)n-1，
∴a_n+1-a_n=1-34×(12)n-1，a₂-a₁=1-32×12；a₃-a₂=1-32×122，…，a_n+1-a_n=1-34×(12)n-1，
将以上各式相加得：a_n-a₁=n+1-32(12+122+…+12n-1)，
a_n=n-12-32×12(1-12n-1)1-12=32n+n-2．
（Ⅲ）存在λ=2，使得数列{Sn+λTnn}为等差数列，
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3(12+122+…+12n)+（1+2+…+n）-2n
=3×12(1-12n)1-12+n(n+1)2-2n
=3(1-12n)+n2-3n2=-32n+n2-3n2+3．
Tn=b1+b2+…+bn=-34(1-12n)1-12=-32(1-12n)=-32+32n+1．
数列{Sn+λTnn}是等差数列的充要条件是Sn+λTnn=An+B，(A、B是常数）
即Sn+λTn=An2+Bn，
又Sn+λTn=-32n+n2-3n2+3+λ(-32+32n+1)=n2-3n2+3-32n+λ(-32+32n+1)
则3-32n+λ(-32+32n+1)=0，当λ=2时，上式成立．
所以存在常数λ=2，使得数列{Sn+λTnn}为等差数列．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=12，对一切n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。