已知等比数列{an}中，公比q∈，a2+a3=32，a1•a4=12，设bn=12nan，．求数列{an}的通项公式；求数列{

题文

已知等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），a2+a3=32，a1•a4=12，设bn=12nan，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a2+a3=32，a1•a4=12，
∴a1q(1+q)=32a1•a1q3=12
变形可得，a12q2(1+q)2=94a12q3=12
两式相除可得(1+q)2q=92
整理可得，2q²-5q+2=0
∵0＜q＜1
解方程可得，q=2（舍）或q=12
∴a₁=2，an=2 •(12)n-1=(12)n-2
（II）∵bn=12nan=n•(12)n-1
S_n=1•(12)0+2•(12)+…+n•(12)n-1①
12Sn=1•12+2•(12)2+…+n•(12)n②
①-②可得12Sn=1+12+(12)2+…(12)n-1-n•(12)n=1-(12)n1-12-n•(12)n
∴Sn=4-(n+12)•(12)n-1

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}中，公比q∈（0，1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。