已知数列{an}，a1=3，an+1=4an-3设bn=1og2，求数列{bn}的前n项和Sn在的条件下，求证：1S1+1S2+…

题文

已知数列{a_n}，a₁=3，a_n+1=4a_n-3
（Ⅰ）设b_n=1og₂（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：1S1+1S2+…+1Sn＞nn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a_n+1=4a_n-3，∴a_n+1-1=4（a_n-1）
∵a₁=3，∴a₁-1=2，
∴{a_n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列
∴a_n-1=2×4^n-1=2^2n-1，
∵b_n=1og₂（a_n-1），∴b_n=2n-1，
∴数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴S_n=n(1+2n-1)2=n²；
（Ⅱ）证明：1S1+1S2+…+1Sn=112+122+…+1n2＞11×2+12×3+…+1n(n+1)
=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1
∴1S1+1S2+…+1Sn＞nn+1．

解析

n(1+2n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，a1=3，an+1=4.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。