已知{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若a3是a1、a9的等比中项，且S5=15．求数列{an}的通项公式；若数列{1a2n}的前n

题文

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，若a₃是a₁、a₉的等比中项，且S₅=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{1a2n}的前n项和Tn，求证：T_n＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），则
∵a₃是a₁、a₉的等比中项，S₅=15，
∴(a1+2d)2=a1(a1+8d)5a1+10d=15，∴a₁=d=1
∴a_n=n；
（Ⅱ）证明：n=1时，T_n=1＜2；
n≥2时，T_n=112+122+…+1n2＜1+11×2+…+1(n-1)n=1+1-12+…+1n-1-1n=2-1n＜2
综上，T_n＜2．

解析

(a1+2d)2=a1(a1+8d)5a1+10d=15

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是公差不为零的等差数列，其前.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。