在数列{an}中，a1=1，n≥2时，an、Sn、Sn-12成等比数列．求a2，a3，a4；求数列{an}的通项公式．

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，n≥2时，a_n、S_n、S_n-12成等比数列．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵n≥2时，a_n、S_n、S_n-12成等比数列．
∴S_n²=a_n（S_n-12）
当n=2时，S₂²=a₂（S₂-12），即（1+a₂）²=a₂（1+a₂-12）
解得a₂=-23
当n=3时，S₃²=a₃（S₃-12），即（1-23+a₃）²=a₃（1-23+a₃-12）
解得a₃=-215
当n=4时，S₄²=a₄（S₄-12），即（1-23-215+a₄）²=a₄（1-23-215+a₄-12）
解得a₄=-235
∴a2=-23，a3=-215，a4=-235
（2）∵S_n²=a_n（S_n-12）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-12）   （n≥2）
化简得2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴等式两边同时除以S_nS_n-1得1Sn-1Sn-1=2（n≥2）
∴{1Sn}是首项为1S1=1，公差为2的等差数列
∴1Sn=1+2（n-1）=2n-1
则S_n=12n-1（n≥2）
当n=1时，也满足上式
∴S_n=12n-1（n≥1）
a_n=S_n-S_n-1=12n-1-12n-3=-2(2n-1)(2n-3)（n≥2）
当n=1时，上式也成立
故an=-2(2n-1)(2n-3)

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，n≥2时，a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。