在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，n∈N*．记bn=an+n+1，求证：数列{bn}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；（2

题文

（文科）在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，n∈N^*．
（1）记b_n=a_n+n+1，求证：数列{b_n}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记cn=2n+22bn+3，数列{c_n}的前n项和为S_n．求证：S_n＜n+13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=2a_n+n，
∴a_n+1+（n+2）=2a_n+n+n+2=2[a_n+（n+1）]
即b_n+1=2b_n，n∈N^*，
∴{b_n}是等比数列且首项为b₁=a₁+1+1=3，公比为2，
∴b_n=3•2^n-1
∴a_n=b_n-（n-1）=3×2^n-1-n-1．
（2）由（1）可知：cn=2n+23•2n+3=13(3×2n+3)+13×2n+3=13+13×2n+3＜13+13×2n
∴S_n＜n3+16(1-12n)1-12=n3+13(1-12n)＜n3+13=n+13
故S_n＜n+13(n∈N*)

解析

2n+23•2n+3

考点

据考高分专家说，试题“（文科）在数列{an}中，a1=1，an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。