已知等比数列{an} 的首项a1=2011，公比q=-12，数列{an} 前n项和记为sn，前n项积记为∏(n)证明s2≤sn≤s1判断|∏(n)|

题文

已知等比数列{a_n} 的首项a₁=2011，公比q=-12，数列{a_n} 前n项和记为s_n，前n项积记为∏(n)
（1）证明s₂≤s_n≤s₁
（2）判断|∏(n)|与|∏(n+1)|的大小，n为何值时，∏(n)取得最大值
（3）证明{a_n} 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d₁，d₂，d₃，…d_n，…，，证明：数列{d_n}为等比数列．（参考数据2¹⁰=1024） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由等比数列{a_n} 的首项a₁=2011，公比q=-12，
得s_n=a1[1-(-12)n]1-(-12)=23a₁[1-(-12)n]，
①n是奇数时，(-12)n=-(12)n，n=1时，-(12)n最小，
②n是偶数时，(-12)n=(12)n，n=2时，(12)n最大，
综上：s₂≤s_n≤s₁；
（2）∵|π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，∴|π(n+1)||π(n)|=|a_n+1|=2011×(12)n，
∵2011210＞1＞2011211，
当n≤10时，|π（n+1）|＞|π（n）|；当n≥11时，|π（n+1）|＜|π（n）|；
∴|π（n）|_max=|π（11）|，但π（11）＜0，∵π（10）＜0，π（9）＞0，π（12）＞0，
∴π（n）的最大值是π（9）与π（12）中的较大者，
∵π(12)π(9)=a₁₀•a₁₁•a₁₂=[2011×(12)10]3＞1，
∴π（9）＜π（12），
∴当n=12时，π（12）最大；
（3）对a_n，a_n+1，a_n+2进行调整，|a_n|随n增大而减小，{a_n}奇数项均为正，偶数项均为负，
①当n是奇数时，调整为：a_n+1，a_n+2，a_n；
则a_n+1+a_n=a₁(-12)n+a₁(-12)n-1=a₁12n，2a_n+2=2a₁(-12)n+1=a₁12n，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n+1，a_n+2，a_n成等差数列；
②当n为偶数时，调整为：a_n，a_n+2，a_n+1，
则a_n+1+a_n=a₁(-12)n+a₁(-12)n-1=a₁(-1)2n，2a_n+2=2a₁(-12)n+1=a₁(-1)2n，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n，a_n+2，a_n+1成等差数列；
所以{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列．
①n是奇数时，公差d_n=a_n+2-a_n+1=a₁[(-12)n+1-(-12)n]=a₁32n+1；
②当n为偶数时，公差d_n=a_n+2-a_n=a₁[(-12)n+1-(-12)n-1]=a₁32n+1，
无论n是奇数还是偶数，都有d_n=a₁32n+1，则dn+1dn=12，
∴数列{d_n}是以d₁=34a₁，公比为12的等比数列．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an} 的首项a1=201.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。