数列{an}中，已知a1=56，a2=1936，且a2-a13，a3-a23，…，an+1-an3是公比为12的等比数列．求证数列a2-a12，a3-a2

题文

数列{a_n}中，已知a1=56，a2=1936，且a2-a13，a3-a23，…，a_n+1-an3是公比为12的等比数列．
（1）求证数列a2-a12，a3-a22，…，an+1-an2是公比为13的等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）问是否存在除12，13以外的实数k，使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：因为a1=56，a2=1936，
所以a2-13a1=14，
又因为a2-a13，a3-a23，…，a_n+1-an3是公比为12的等比数列，
所以an+1-an3=(12)n+1
所以an+2-an+12an+1-an2=(12)n+2-16an+1(12)n+1-16an=12[(12)n+1-13an+1](12)n+1-16an=12[(12)n+1-13(12)n+1-19an](12)n+1-16an
=13[(12)n+1-16an](12)n+1-16an=13，
所以数列a2-a12，a3-a22，…，an+1-an2是公比为13的等比数列．
（2）由（1）可得：an+1-12an=(13)n+1，又因为an+1-13an=(12)n+1，
所以两式相减得16an=(12)n+1-(13)n+1，
所以an=6[(12)n+1-(13)n+1]=3•(12)n-2•(13)n，
所以an=3•(12)n-2•(13)n．
（3）假设存在这样的k，k≠12，13
则有an+1-kan=3•(12)n+1-2•(13)n+1-3k(12)n+2k(13)n=(32-3k)(12)n+(2k-23)(13)n
所以(32-3k)(12)n+1+(2k-23)(13)n+1=q(32-3k)(12)n+q(2k-23)(13)n，
即 (32-3k)12=q(32-3k)(2k-23)13=q(2k-23)解得：k=12或13，
所以不存在除12，13以外的实数k使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，已知a1=56，a2=1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。