已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=10，S3-3a2=4，且a2＞a1求{an}的通项公式；求和：1a1-1a2+1a3-1a4+

题文

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₃=10，S₃-3a₂=4，且a₂＞a₁
（1）求{a_n}的通项公式；（2）求和：1a1-1a2+1a3-1a4+…+(-1)n-1an． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₁+a₃=10，S₃-3a₂=4，
化简得：a1+a1q2=10a1(1-2q+q2)=4，（3分）
解得：a1=1q=3或a1=9q=13，（5分）
当a₁=9，q=13时，a₂＜a₁，不合题意，舍去，
当a₁=1，q=3时，可得a_n=3^n-1；（7分）
（2）设bn=(-1)n-1an，
∵a_n=3^n-1，∴bn+1bn=-anan+1=-13，
又b₁=1a1=1，
∴{b_n}是首项为1，公比为-13的等比数列，（10分）
∴所求式子的和Tn=1[1-(-13)n]1+13=34[1-(-13)n]．（14分）

解析

a1+a1q2=10a1(1-2q+q2)=4

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。