已知数列{an}中，a1=1，anan+1=(13)n，(n∈N*)，求证：数列{a2n}与{a2n-1}都是等比数列；求数列{an}前

题文

已知数列{a_n}中，a1=1，anan+1=(13)n，(n∈N*)，
（1）求证：数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列；
（2）求数列{a_n}前2n的和T_2n；
（3）若数列{a_n}前2n的和为T_2n，不等式81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n）对（n∈N^*）恒成立，求k的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵anan+1=(13)n，
∴an+2an=13
∴数列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1为首项，13为公比的等比数列；
数列a₂，a₄，…，a_2n，是以13为首项，13为公比的等比数列．
（2）T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=1-(13)n1-13+13[1-(13)n]1-13=2-2(13)n
（3）81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n），则81•[2-2(13)n]•(13)n≤2•[1-k(13)n]，
令t=(13)n，则81（1-t）t≤1-kt，kt≤1-81（1-t）t，∵t＞0，k≤81t+1t-81
又81t+1t-81≥281-81=-63，等号当且仅当81t=1t，t=19，
即(13)n=19，n=2时成立．故k≤-63，即k的最大值为-63．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，anan+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。