设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N+，都有Sn=-man．求证：数列{an}是等比数列；数列{bn}满足b1=2

题文

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足b₁=2a₁，bn=bn-11+bn-1，（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{2n+1bn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵S_n=（m+1）-ma_n…①
∴S_n+1=（m+1）-ma_n+1，…②
②-①得
a_n+1=-ma_n+1+ma_n，即（m+1）a_n+1=ma_n，
即an+1an=mm+1
∴数列{a_n}是等比数列；
（2）∵n≥2，n∈N^*时，bn=bn-11+bn-1，
∴b_n•b_n-1=b_n-1•b_n
∴1bn-1bn-1=1
又∵n=1时，S₁=a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，b₁=2a₁=2，1b1=12
∴数列{1bn}是一个以12为首项，以1为公式差的等差数列
∴1bn=n-12
∴b_n=22n-1
（3）∵2n+1bn=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=1•2¹+3•2²+5•2³…+（2n-1）2ⁿ…①
2T_n=1•2²+3•2³…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：
T_n=-2-2（2²+2³…+2ⁿ）+（2n-1）2ⁿ⁺¹
=6+（2n-3）2ⁿ⁺¹

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。