已知数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn=aa-1(an-1)若a=2，求数列{an}的通项公式设bn=2Snan+

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：Sn=aa-1(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）
（1）若a=2，求数列{a_n}的通项公式
（2）设bn=2Snan+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值．
（3）在满足条件（2）的情形下，设cn=11+an+11-an+1，数列{c_n}前n项和为T_n，求证Tn＞2n-13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=2时，S_n=2a_n-2
当n=1时，S₁=2a₁-2⇒a₁=2…（1分）
当n≥2时，S_n=2a_n-2S_n-1=2a_n-1′-2…（2分）
两式相减得到a_n=2a_n-2a_n-1，（a_n-1≠0）得到anan-1=2…（3分）an=2n…（4分）
（2）由（1）知，bn=2•aa-1(an-1)an+1=(3a-1)an-2aan(a-1)，
若{b_n}为等比数列，
则有b22=b1b3，而b1=3，b2=3a+2a，b3=3a2+2a+2a2，
故(3a+2a)2=3•3a2+2a+2a2，解得a=13，再将a=13代入得bn=3n成立，所以a=13．       …（9分）
（3）证明：由（2）知an=(13)n，
所以cn=11+(13)n+11-(13)n+1=3n3n+1+3n+13n+1-1=3n+1-13n+1+3n+1-1+13n+1-1=1-13n+1+1+13n+1-1=2-(13n+1-13n+1-1)，…11
由13n+1＜13n，13n+1-1＞13n+1得13n+1-13n+1-1＜13n-13n+1，
所以cn=2-(13n+1-33n+1-1)＞2-(13n-13n+1)，…13
从而Tn=c1+c2+…+cn＞[2-(13-132)]+[2-(132-133)]+…[2-(13n-13n+1)]=2n-[(13-132)+(132-133)+…+(13n-13n+1)]=2n-(13-13n+1)＞2n-13．
即Tn＞2n-13．…14

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn满足：S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。