数列{an}满足a1=1，a2=32，an+2=32an+1-12an记dn=an+1-an，求证：{dn}是等比数列；求数列{an}的

题文

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=32，a_n+2=32a_n+1-12a_n（n∈N^*）
（1）记d_n=a_n+1-a_n，求证：{d_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）b_n=3n-2，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=1，a2=32，
∴a2-a1=12
又∴an+2-an+1=12an+1-12an
∴an+2-an+1an+1-an=12即dn+1= 12dn
∴{a_n}是以12为首项，12为公比的等比数列
（2）由①得an+1-an=(12)n
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+12+122+…+12n-1
=2-(12)n-1
（3）an-bn=(6n-4)-(3n-2) (12)n-1
Sn=2[1+4+…3n-2]-[1×120+4×12+…+(3n-2)12n-1]
记Tn=1+4×12+7×122+…+(3n-2)×12n-1①
12Tn=1×12+4×122+…+(3n-2)×12n②
①-②得12Tn=1+3×(12+122+…+12n-1)-(3n-2)×12n
∴Tn=8-3n+42n-1
∴Sn=3n2-n-8+3n+42n-1

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=1，a2=32，a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。