设f1=21+x，fn+1=f1[fn]，且an=fn(0)-1fn(0)+2，则a2013=A．(12)2012B．(12)2013

题文

设f₁（x）=21+x，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=fn(0)-1fn(0)+2，则a₂₀₁₃=（ ）A．(12)2012B．(12)2013C．(12)2014D．(12)2015 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可得f₁（0）=21+0=2，
a1=f1(0)-1f1(0)+2=2-12+2=14，
由因为f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
所以an+1=fn+1(0)-1fn+1(0)+2=f1[fn(0)]-1f1[fn(0)]+2=21+fn(0)-121+fn(0)+2=1-fn(0)4+2fn(0)=-12•fn(0)-1fn(0)+2=-12an，
故数列{a_n}为公比为-12的等比数列，
故a₂₀₁₃=a₁×(-12)2012=14×(-12)2012=(12)2014
故选C

解析

21+0

考点

据考高分专家说，试题“设f1（x）=21+x，fn+1（x）=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。