设数列{an}满足：a1=56，且an=13an-1+13求证：数列{an-12}为等比数列，并求数列{an}的通项an；求{a

题文

设数列{a_n}满足：a₁=56，且an=13an-1+13（n∈N^*，n≥2）
（1）求证：数列{an-12}为等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an=13an+13，两边减去12得an-12=13(an-1-12)（n∈N^*，n≥2）
根据等比数列的定义，可知数列{an-12}是以13为公比的等比数列，又首项为a₁-12=56-12=13
所以an-12=(13)n，所以an=12+(13)n
（2）可以分成等比数列{(13)n}与常数列{12}的和．由分组求和得Sn=13(1-(13)n)1-13+12n=12-12(13)n+12n

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：a1=56，且an=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。