已知数列{an}的前n项和Sn=3•(32)n-1-1(n∈N*)，数列{bn}满足bn=an+1log32an+1(n∈N*)．求数列{an}的通项公式

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=3•(32)n-1-1(n∈N*)，数列{b_n}满足bn=an+1log32an+1(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并说明{a_n}是否为等比数列；
（2）求数列{1bn}的前n项和前T_n；
（3）若-83bn＞2t-t2对任意的n∈N^*恒成立，求t的最小正整数值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=3×1-1=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(32)n-1
∴an=2，n=1(32)n-1，n≥2
∵n=1时，a₁=S₁=3×1-1=2不满足an=(32)n-1
∴{a_n}不是等比数列；
（2）∵bn=an+1log32an+1=(32)nn，
∴1bn=n•(23)n
∴数列{1bn}的前n项和前T_n=1•23+2•(23)2+…+n•(23)n
∴23Tn=1•(23)2+2•(23)3+…+n•(23)n+1
两式相减可得13Tn=23+(23)2+(23)3+…+(23)n-n•(23)n+1=2-2•(23)n-n•(23)n+1
∴T_n=6-2(n+3)(23)n
（3）由（2）有b_n+1-b_n=(32)n+1n+1-(32)nn=(32)n•n-22n(n+1)
∴n≤2时，有b_n+1-b_n≤0；n＞2时，b_n+1-b_n＞0
∴b_n的最小值为b₂=b₃=98
∴-83bn＞2t-t2等价于-83×98＞2t-t2
∴t²-2t-3＞0
∴t＞3或t＜-1
∴t的最小正整数值是4．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=3•(3.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。